ラジオボタンの初期値を設定して、バリデーションエラーで戻ってきた際のold関数の書き方です。
old関数の第二引数に、初期値をセットするとうまくいきます。

<div class="col-md-6">
  <div class="form-check">
    <input class="form-check-input" type="radio" name="deposit" id="exampleRadios1" value="未請求" {{ old('deposit','未請求') == '未請求' ? 'checked' : '' }}>
    <label class="form-check-label" for="exampleRadios1">
      未請求
    </label>
    </div>
    <div class="form-check">
    <input class="form-check-input" type="radio" name="deposit" id="exampleRadios2" value="請求済み" {{ old('deposit') == '請求済み' ? 'checked' : '' }}>
    <label class="form-check-label" for="exampleRadios2">
      請求済み
    </label>
    </div>
    <div class="form-check">
    <input class="form-check-input" type="radio" name="deposit" id="exampleRadios3" value="入金済み" {{ old('deposit') == '入金済み' ? 'checked' : '' }}>
    <label class="form-check-label" for="exampleRadios3">
      入金済み
    </label>
    </div>
</div>